預防醫學/回歸分析

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- 應用直線相關與回歸分析時的注意事項

醫學上，不少孌量間雖存在一定關係，但這種關係不象函數關係那樣十分確定。例如正常人的血壓隨年齡而增高，但這只是總的趨勢，有些高齡人的血壓卻不一定偏高；一群正常人按年齡和血壓兩個變數在坐標上的方位點，並非集中在一條上升直線上，而是圍繞著一條有代表性的直線上升。

直線回歸分析的任務在於找出兩個變數有依存關係的直線方程，以確定一條最接近於各實測點的直線，使各實測點與該線的縱向距離的平方和為最小。這個方程稱為直線回歸方程，據此方程描繪的直線就是回歸直線。

（一）直線回歸方程式（linear regression equation）的計算

直線回歸方程的通式為：

=a+bX　公式（22.3）

式中Y為自由變數X推算因變數Y的估計值，a為回歸直線在Y軸上的截距，即X=0時的Y值；b為樣本回歸係數（regression coefficient），即回歸直線的斜率（slope或稱坡度），表示當X變動一個單位時，Y平均變動b個單位。如果已知a與b，用以代入公式（22.3），即可求得直線回歸方程。求a和b的公式分別為：

公式（22.4）

公式（22.5）

對樣本中兩個變數分析，不但可作相關分析，還可進一步作直線回歸分析。仍以表22-1為示範，該例經過直線相關分析，r=0.6097，兩變數間有直線關係，從相關係數計算時，已求得：

Σ（X-x）（Y-Y）=41.2000

Σ（X-x）²=677.4194

而Y=ΣY/n=99.2/31=3.2000

x=ΣY/n=534/31=17.2258

代入公式（22.4）

b=41.2000/677.4194=0.0608

代入公式（22.5）

a=3.2000-0.0608×17.2258=2.1527

代入公式（22.3）

=2.1527+0.0608X

（二）樣本回歸係數的假設檢驗

樣本回歸係數也有抽樣誤差問題，故需對b作假設檢驗，以評估b是否可能從回歸係數為零（即β=0）的總體中隨機抽得的。

檢驗步驟：

H₀：β=0 即b是由β=0的總體中隨機抽樣的樣本回歸係數。

H₁：β≠0

α=0.05

t檢驗：檢驗公式為

t_b=｜b｜/s_b公式（22.6）

式中s_b是回歸係數的標準誤，計算公式為

公式（22.7）

式中s_y.x為各觀察值Y距回歸直線（Y）的標準差，是當X的影響被扣除後Y方面的變異指標。可用以下公式計算：

公式（22.8）

公式（22.9）

本例上述已算得

Σ（X-x）²=677.4194

Σ（Y-Y）²=6.7400

Σ（X-x）(Y-Y)=41.2000

分別代入公式（22.9）,(22.8),(22.7)和(22.6)得

Σ(Y-Y)²＝6.7400-41.2000²/677.4194=4.2343

t_b=0.0608/0.01468=4.1417

分析評價本例自由度v=31-2=29，查t值表，t_0.01_（29）=2.756,P＜0.01,按α=0.05檢驗水準，拒絕無效假設，可以認為待產婦24小時尿中雌三醇含量與初生兒體重之間存在直線回歸關係。

（三）描繪回歸直線

根據以上求得回歸方程Y=2.1527+0.0608x，可以在自變數X的實測範圍內（本例為7～27）任取X₁和X₂兩值代入上式求得在圖22-2中的P₁（X₁，Y₁）和P₂（X₂，Y₂）兩坐標點，將兩點連結為一直線，就屬該方程的回歸直線。作圖要注意的是P₁、P₂兩點最好距離遠些，繪出的直線在坐標上誤差就小些。